Wilcoxon Signed-Rank Test in Details

什么是 Wilcoxon 符号秩检验？

适用场景

• 配对数据：例如，同一组人在治疗前后的测量结果。

• 非正态数据：当数据偏态或有异常值时。

• 小样本或大样本：它在不同样本量下都有适用方法。

基本假设

1. 数据是成对的，且差值有意义。

2. 差值的分布关于中位数对称（不要求正态）。

3. 每对观测值之间独立。

计算步骤：从小样本到大样本

小样本（查表法）

1. 计算差值：\( D_i = X_{1i} - X_{2i} \)，剔除差值为零的对。

2. 取绝对值并排序：对 \( |D_i| \) 从小到大排序，赋予秩次（并列取平均秩）。

3. 带符号秩次：根据差值的正负，给秩次加上符号。

4. 计算统计量：
• \( W^+ \)：正秩和。
• \( W^- \)：负秩和。
• \( W = \min(W^+, W^-) \)。

5. 查表：根据样本量 \( n \) 和显著性水平 \( \alpha \)（如 0.05），查临界值表。

实例 1：治疗前后血压变化

• \( W^+ = 2.5 + 2.5 + 2.5 + 6 = 13.5 \)，

• \( W^- = 2.5 + 2.5 = 5 \)，

• \( W = \min(13.5, 5) = 5 \)。

大样本（正态近似）

• 期望值：\( E(W) = \frac{n(n+1)}{4} \)，

• 方差：\( Var(W) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} \)，

• \( Z = \frac{W - E(W)}{\sqrt{Var(W)}} \)。

实例 2：两种教学方法的成绩比较

• \( n = 30 \)，\( E(W) = \frac{30 \times 31}{4} = 232.5 \)，

• \( Var(W) = \frac{30 \times 31 \times 61}{24} = 2363.75 \)，

• \( W = 225 \)，\( Z = \frac{225 - 232.5}{48.62} \approx -0.154 \)，

• 双尾 \( p = 2 \times P(Z > 0.154) \approx 0.877 \)，

• \( |Z| < 1.96 \)，不拒绝 \( H_0 \)。

连续性校正：要不要用？

• 未校正：\( Z = \frac{W - E(W)}{\sqrt{Var(W)}} \)，

• 校正后：\( Z = \frac{|W - E(W)| - 0.5}{\sqrt{Var(W)}} \)。

实例 2 续：加入校正

• 未校正：\( Z = -0.154 \)，\( p \approx 0.877 \)，

• 校正后：\( |225 - 232.5| - 0.5 = 7 - 0.5 = 6.5 \)，\( Z = \frac{6.5}{48.62} \approx -0.134 \)（带符号），\( p \approx 0.893 \)。

单尾 vs. 双尾检验：深入原理与应用

基本概念

• 双尾检验：检测两组配对数据是否存在任意方向的差异，即差值中位数是否显著偏离零（可能是正或负）。
• 原假设 (\( H_0 \))：差值中位数 = 0。
• 备择假设 (\( H_1 \))：差值中位数 ≠ 0。
• 显著性水平 \( \alpha \)（如 0.05）均分到正态分布的两端，每端 \( \alpha/2 \)（如 0.025）。

• 单尾检验：检测两组数据是否在特定方向上存在差异，例如第一组是否显著大于或小于第二组。
• \( H_0 \): 差值中位数 ≤ 0（或 ≥ 0，取决于方向）。
• \( H_1 \): 差值中位数 > 0（或 < 0）。
• \( \alpha \) 全部集中在分布的一端。

原理：为什么需要区分？

• \( W^+ \) 大：第一组倾向于大于第二组。

• \( W^- \) 大：第一组倾向于小于第二组。

• 双尾：关注两组的总体差异，不预设方向，因此需要检查正负两端的极端值。

• 单尾：基于研究假设，只关注一个方向的偏离，提高该方向的检测能力。

双尾检验的原理

• \( p = 2 \times P(Z > |Z|) \)：两端概率之和。

• 临界值（如 \( \alpha = 0.05 \) 时 ±1.96）反映双向极端。

单尾检验的原理

• \( p = P(Z > Z_{\text{obs}}) \)：仅右尾概率。

• 临界值（如 \( \alpha = 0.05 \) 时 1.645）只在一侧。 这提高了统计效能，但要求方向与 \( H_1 \) 一致。

计算上的差异

小样本（查表）

• 双尾：用 \( W = \min(W^+, W^-) \)，查双尾临界值表。

• 单尾：根据 \( H_1 \) 选择：
• \( H_1 \): 差值 > 0，用 \( W^+ \)。
• \( H_1 \): 差值 < 0，用 \( W^- \)。

大样本（正态近似）

• 计算 \( Z = \frac{W - E(W)}{\sqrt{Var(W)}} \)：
• 双尾：\( p = 2 \times P(Z > |Z|) \)。
• 单尾：
• \( H_1 \): 差值 > 0，\( p = P(Z > Z) \)，
• \( H_1 \): 差值 < 0，\( p = P(Z < Z) \)。

实例解析

实例 3：新药效果（单尾，小样本）

• \( H_1 \): 新药 > 安慰剂（差值 > 0），用 \( W^+ \)，

• 查表（\( n = 9 \)，单尾 \( \alpha = 0.05 \)），临界值 = 8，

• \( W^+ = 40 > 8 \)，拒绝 \( H_0 \)，新药效果显著更好。

实例 4：教学方法（大样本，双尾 vs. 单尾）

• \( E(W) = 232.5 \)，\( Var(W) = 2363.75 \)，

• \( Z = \frac{300 - 232.5}{48.62} \approx 1.39 \)。

• 双尾：
• \( H_1 \): 差值 ≠ 0，
• \( p = 2 \times P(Z > 1.39) \approx 0.1646 \)，
• \( |Z| < 1.96 \)，不拒绝 \( H_0 \)。

• 单尾（\( H_1 \): 方法A > 方法B）：
• \( p = P(Z > 1.39) \approx 0.0823 \)，
• \( 1.39 < 1.645 \)，不拒绝 \( H_0 \)。

• 单尾（\( H_1 \): 方法A < 方法B）：
• \( Z = 1.39 > 0 \)，方向相反，\( p = P(Z < 1.39) \approx 0.9177 \)，不显著。

实例 5：锻炼对心率的影响（单尾，大样本）

• \( E(W) = \frac{50 \times 51}{4} = 637.5 \)，

• \( Var(W) = \frac{50 \times 51 \times 101}{24} \approx 10731.25 \)，

• \( Z = \frac{400 - 637.5}{103.6} \approx -2.29 \)，

• \( H_1 \): 心率减少（差值 < 0），\( p = P(Z < -2.29) \approx 0.011 \)，

• \( -2.29 < -1.645 \)，拒绝 \( H_0 \)，锻炼显著降低心率。

如何选择？

• 双尾：无方向性假设，探索性研究。

• 单尾：有理论支持（如“新药应优于安慰剂”），需预先声明方向。

• 注意：单尾方向不能事后根据数据调整，否则增加假阳性风险。

优缺点与实际应用

优点

• 不需正态假设，对异常值不敏感。

• 适用于小样本和大样本。

缺点

• 假设差值分布对称。

• 效能低于参数检验（如 t 检验）。

软件实现

• R: wilcox.test(x, y, paired = TRUE)，

• Python: scipy.stats.wilcoxon(x, y)。

总结