A Level 9709: Integration | 现代数学启蒙

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Topic: Techniques of Integration

In calculus, integration is the process of finding the integral of a function. It is the reverse operation of differentiation and is used to find the area under a curve, the length of a curve, the volume of a solid, and many other applications in mathematics and physics.

Example:

Find the integral of ∫(2x + 5) dx

To find the integral of ∫(2x + 5) dx, we can use the power rule of integration. The power rule states that the integral of x^n is (x^(n+1))/(n+1), where n is any real number except -1.

To apply the power rule, we distribute the integral to each term in the function: ∫(2x + 5) dx = ∫2x dx + ∫5 dx

Integrating each term separately, we get: = 2∫x dx + 5∫dx = 2(x^2/2) + 5x + C = x^2 + 5x + C

Therefore, the integral of ∫(2x + 5) dx is x^2 + 5x + C, where C is the constant of integration.

Exercises:

Find the integral of ∫(3x^2 + 4x - 1) dx

Evaluate ∫(sin x + cos x) dx

Calculate ∫(e^x + ln x) dx

Answers for the exercises above:

answer 1

To find the integral of ∫(3x^2 + 4x - 1) dx, we can use the power rule of integration. Applying the rule to each term, we get: = ∫3x^2 dx + ∫4x dx - ∫1 dx = 3(x^3/3) + 4(x^2/2) - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C

Therefore, the integral of ∫(3x^2 + 4x - 1) dx is x^3 + 2x^2 - x + C, where C is the constant of integration.

answer2

To evaluate ∫(sin x + cos x) dx, we can integrate each term separately: = ∫sin x dx + ∫cos x dx = -cos x + sin x + C

Therefore, the integral of ∫(sin x + cos x) dx is -cos x + sin x + C, where C is the constant of integration.

answer3

To calculate ∫(e^x + ln x) dx, we integrate each term separately: = ∫e^x dx + ∫ln x dx = e^x + x(ln x - 1) + C

Therefore, the integral of ∫(e^x + ln x) dx is e^x + x(ln x - 1) + C, where C is the constant of integration.

Formula

Other Resources:

Integration Techniques Cheat Sheet

"Calculus: Early Transcendentals" by James Stewart

https://www.geogebra.org/m/fhmxtyw9

Video:

我来用拆积木和搭积木的故事，带你认识这对数学里的“黄金搭档”——微分和积分！它们就像超级英雄的组合技，一个负责拆解问题，一个负责重建答案，连起来就能解开宇宙的奥秘呢！✨

一、微分：给世界按下“显微镜模式”🔍

核心任务：找到瞬间变化的规律

举个栗子：想象你骑自行车冲下山坡，码表显示“瞬时速度”是20km/h，这就是微分的功劳！

显微镜视角：微分就像给山坡装了个超级放大镜，把弯弯曲曲的山路拆成无数个几乎平直的小台阶。每个台阶的坡度（即斜率）就是微分的结果11。

比如：蚂蚁爬山坡时，每挪动1毫米都能感知到脚下的坡度变化，这就是微分蚂蚁的视角11。

数学表达：如果路程公式是 \( y = x^2 \)，微分会算出每个点的瞬时变化率（导数）是 \( y' = 2x \)。这表示车速会随着时间越来越快哦！

二、积分：用碎片拼出完整答案🧩

核心任务：把无数小碎片累加成整体

举个栗子：想知道吃披萨时总共啃了多少面积？积分说：“切成超多小三角，拼成矩形算面积！”

拼图大师：积分把曲线围成的区域（比如半个披萨）切成无数细条，每条的宽度趋近于0，最后把这些“面条面积”加起来154。

比如：数一罐彩虹糖，先算一层有几颗，再乘以层数，这就是积分思维。

数学表达：如果速度随时间变化 \( v(t) = 2t \)，积分会把每一秒的微小距离 \( v(t) \cdot dt \) 加起来，得到总路程 \( S = t^2 \)！

三、微分和积分：数学界的“时空倒流术”⏳

它们的关系：就像“拆乐高”和“搭乐高”互为逆过程！

互逆运算：

微分把“路程→速度”，积分把“速度→路程”。

实验验证：如果 \( y = x^3 \) 的导数是 \( y' = 3x^2 \)，那么对 \( 3x^2 \) 积分就会还原成 \( x^3 \)！22

微积分基本定理：牛顿和莱布尼茨发现，微分和积分通过“原函数”连接，就像用钥匙解开数学宇宙的密码122。

四、现实中的超能力应用🦸

物理：算火箭的加速轨迹（微分）、预测卫星轨道总长度（积分）。

生物：研究细胞分裂的瞬时速度（微分）、计算人口增长总量（积分）44。

经济学：分析股票涨跌的波动（微分）、统计全年总收入（积分）44。

互动小剧场🎬

假设你是个游戏设计师：

微分任务：设计一个“过山车坡度检测器”，实时显示每个弯道的倾斜角。

积分任务：根据坡度数据，计算整条过山车的总长度。

终极挑战：用这两个工具设计出最刺激的轨道！

总结（像吃冰淇淋一样学数学🍦）

微分 = 舔一口冰淇淋，分析它的瞬间融化速度。

积分 = 把每一口的融化量加起来，算出整个冰淇淋的体积。

关系：先拆解（微分），再合成（积分），数学宇宙任你探索！

下次看到复杂的曲线或数据，记得喊出：“微分，启动显微镜！积分，启动拼图模式！” 🚀